$\sqrt{3}x-3y = 12$ রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোন ধরনের কোণ উৎপন্ন করে?

বিস্তারিত সমাধান:

কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে, সেই কোণের ট্যানজেন্ট (tangent) মানকে রেখাটির ঢাল (slope) বলে। অর্থাৎ, যদি একটি রেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে রেখাটির ঢাল \(m = \tan\theta\)।

প্রদত্ত রেখার সমীকরণটি হলো:

\(\sqrt{3}x - 3y = 12\)

এই সমীকরণটিকে \(y = mx + c\) আকারে প্রকাশ করে ঢাল \(m\) নির্ণয় করা যাবে।

ধাপ ১: \(y\) যুক্ত পদটিকে বাম পাশে রেখে অন্যান্য পদ ডান পাশে সরিয়ে নিই।

\(-3y = -\sqrt{3}x + 12\)

ধাপ ২: \(y\) এর সহগ দিয়ে উভয় পক্ষকে ভাগ করি।

\(y = \frac{-\sqrt{3}}{-3}x + \frac{12}{-3}\)

\(y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 4\)

এই সমীকরণটিকে \(y = mx + c\) এর সাথে তুলনা করে পাই, রেখাটির ঢাল \(m = \frac{\sqrt{3}}{3}\)।

ধাপ ৩: ঢালের মান ব্যবহার করে উৎপন্ন কোণ \(\theta\) নির্ণয় করি।

\(\tan\theta = m\)

\(\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

আমরা জানি, \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), যা \(\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) এর সমান।

অতএব,

\(\theta = 30^\circ\)

যেহেতু \(0^\circ < 30^\circ < 90^\circ\), উৎপন্ন কোণটি একটি সূক্ষ্মকোণ।

সুতরাং, রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে।